142 Calculadora de Integrales y Derivadas Online

Comparto esta sencilla herramienta que usa la tecnología Wolfram Alpha para calcular derivadas e integrales online de la función que deseen. Junto con la gráfica de la función derivada o integrada.

Ejemplos de como deben escribirse algunas funciones en el cuadro de texto:


Se debe escribir como: x/(x^2+1)


Se escribe como: sin^2(x)



Se escribe como: (x^3+x)/x^4

Si tienes alguna duda de como usar esta herramienta no olvides dejar un comentario.

0 ¿Cómo activar Java en Mozilla Firefox para Ubuntu?

He tenido problemas en encontrar una forma sencilla de activar las applets de java en Mozilla Firefox para Ubuntu. Encontré una solución simple y la comparto en esta entrada.

El primer paso es instalar Java, lo cual se logra escribiendo en una terminal el siguiente código.

$ sudo apt-get install openjdk-6-jre-headless

Una vez instalado java resta habilitar los applets en Mozilla. Para lograr esto último instalamos un plug-in escribiendo en la terminal el siguiente código.

$ sudo apt-get install icedtea6-plugin

¡Y Listo!

¿Verdad que fué sencillo?

Además puedes ejecutar desde una terminal cualquier archivo java usando la instrucción.

$ java -jar archivojava

0 Hacer una cuenta en SAGE y empezar a hacer gráficos

En esta entrada describo como hacer una cuenta en internet en SAGE, para quien no sabe SAGE es un programa para hacer gráficos, cálculos matemáticos es posible instalarlo en linux y mac, los usuarios de windows es posible usarlo desde internet.

1. Ingresar a la página http://www.sagemath.org/

2. Dar clic en "Try SAGE online"

3. Abrir una cuenta de correo electrónico en gmail o yahoo, si es que aún no se tiene una.

4. Dar clic en gmail o yahoo según la cuenta que hallas abierto.

5. Ingresar nombre de usuario y password si son solicitados.


6. Den clic en "New worksheet", Nueva hoja de trabajo.

7. Para que vean el ejemplo de una hoja publicada chequen: http://www.sagenb.org/home/pub/4976

0 ¿Y TÚ QUÉ SABES?

El entendimiento actual del universo nos impacta de una forma que nunca hubiéramos imaginado. En este documental de divulgación le damos un vistazo al mundo desde la perspectiva de la física moderna.

0 VIAJE AL INTERIOR DEL CUERPO HUMANO

Documental que hace un viaje a lo largo de la vida. Desde que nacemos hasta nuestra muerte.

0 División Sintética

La división sintética nos provee de un procedimiento sencillo con el cual dividir un polinomio entre un monomio. Veremos diferentes ejemplos. Que te diviertas.

La división sintética sólo puede llevarse a cabo en fracciones de la forma:

$$ \frac { {a_{n}x }^{ n }+{a_{n-1}x }^{ n-1}+...+{a_{1}x }+a_{0}}{ x-a } $$

Ejemplo: Efectuar la siguiente división en forma sintética.

$$ \frac { { x }^{ 4 }-3x^3+2x^2-x+6 }{ x-2 } $$


0 Bionanotecnología


La bionanotecnología es la aplicación de entidades nanométricas para el diagnóstico y/o tratamiento, ya sea pasiva o activamente de una enfermedad o condición. Sin embargo, el desarrollo, síntesis y uso de tales tecnologías puede traer efectos secundarios.

Por lo tanto es indispensable realizar un estudio profundo de las entidades nanométricas que deseemos usar, tanto a un nivel teórico como a un nivel clínico, tomando en cuenta cómo éstas van a interactuar con el medio ambiente y las especies que habitamos este planeta. Tenemos experiencia en como los compuestos sintéticos pueden tener efectos no deseados. Los plásticos que presentan una gran variedad de usos y beneficios, también perjudican al medio ambiente y debido a nuestra pobre cultura de reciclaje se han convertido hoy en una gran carga para nosotros y para el planeta.

Se espera una gran inversión en esta área interdisciplinaria. Y no es para menos pues la gran cantidad de aplicaciones en la mejora de los tratamientos médicos tendrá impacto en la calidad de nuestras vidas. Entre las aplicaciones más prometedoras se encuentran: la entrega de drogas a zonas específicas de nuestro organismo, la reparación de heridas específicas en arterias del corazón, algo así como la coagulación que repara nuestras heridas, la destrucción específica de tejido dañino (como el cáncer). Además estas nuevas entidades nanométricas también nos permitirán, mediante novedosas técnicas de obtención y procesamiento de imagen, podremos diagnosticar de forma precisa y sin necesidad de procedimientos invasivos la existencia de una nueva condición.




Este campo tenderá a unir a profesionistas de diferentes áreas. Como físico espero con ansia participar en la construcción de modelos matemáticos para predecir las propiedades de esta nueva herramienta que la ciencia del siglo XXI pone a nuestra disposición.



0 ¿Cómo calcular la raíz cuadrada?

En esta entrada presento dos ejemplos de como calcular la raíz cuadrada de números de 4 y 5 cifras. Debe observarse que el proceso es sencillo.

Existen aún más métodos para calcular la raíz cuadrada la mayoría se discuten en wikipedia.


Ejemplo 1: Raíz cuadrada de un número de 3 a 4 cifras.

Ejemplo 2: Raíz cuadrada de un número de más de 4 cifras.




1 FORMULARIO DE CINEMÁTICA


Presentamos una colección de formularios en el área de física. Aquí está el primero, contiene fórmulas de cinemática y sus aplicaciones a los problemas comunes de 1 y 2 dimensiones, a saber, caída libre, tiro vertical y tiro parabólico. También incluye ejemplos de los tipos de movimientos: movimiento rectilíneo uniforme, MRU y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, MRUA.

Las imágenes mostradas han sido tomadas de wikipedia. Espero les sea de utilidad.


0 Curso Online de Operaciones de Números con signo

Con este sencillo curso viajarás entre animaciones y ejemplos sencillos que te permitirán comprender y usar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números signados.

Al final no olvides en tomar el examen sugerido para demostrar lo aprendido.

Suma y Resta de Números con Signo (Usando regla de los signos)

Suma y Resta de Números con Signo (Usando la recta numérica)

 Multiplicación de Números Signados

División de Números con Signo

Examen de Operaciones de Números Signados

No dudes en sugerir otros cursos en la sección de comentarios.

0 Examen online de Números con Signo

Comprueba que has comprendido las reglas de suma, resta, multiplicación y división de números signados tomando este sencillo examen de 10 preguntas.




0 División de números con signo

Las reglas de división de números con signo se deducen de las reglas de multiplicación de números con signo. De hecho una división es la multiplicación de un número por su recíproco, es decir:

$$\frac { a }{ b } =a\left( \frac { 1 }{ b }\right) $$

El recíproco (b) de un número (a) es aquél que cumple con la condición:

ab=1 

Es fácil notar que:

$$ { b } =\left(\frac {1}{a} \right)$$

Por ejemplo, el recíproco de 2 es \(\frac{1}{2}\), porque:

$$ (2)\left(\frac { 1 }{ 2 }\right) =(2)(0.5)=1 $$

Ya que ha quedado claro que es el recíproco de un número podemos ocupar esta idea para deducir la regla de multiplicación de los signos. Entonces las reglas de división de los signos son las mismas que la de multiplicación:

$$(+)\quad \div \quad (+)\quad =\quad \frac { + }{ + } \quad =\quad +$$ 

$$(-)\quad \div \quad (-)\quad =\quad \frac { - }{ - } \quad =\quad -$$ 

$$(+)\quad \div \quad (-)\quad =\quad \frac { + }{ - } \quad =\quad -$$

$$(-)\quad \div \quad (+)\quad =\quad \frac { - }{ + } \quad =\quad -$$

 Ejemplos:






0 Sirenas

Un documental que concatena hechos científicos con evidencia circunstancial que da cabida a la posibilidad de que las sirenas existen, o existieron.

0 Serie Cosmos de Carl Sagan (Episodios 1 y 2)

El buscar explicaciones (aunque no siempre sean correctas) es una ambición natural del ser humano.

Cosmos una serie de divulgación científica muy bien hecha, escrita por Carl Sagan y su esposa Ann Druyan, explica en forma simple los hechos científicos que han revolucionado nuestro entendimiento del universo. Desde la teoría de la relatividad hasta la teoría de la evolución.

Aquí comparto la colección completa remasterizada con subtitulos en español. En nombre de Carl Sagan los invito a este "viaje personal" a través del universo.

Para activar los subtítulos en español:



Episodio 1:




Episodio 2:


0 Formulario de Trigonometría

Continuando con nuestra colección de formularios de matemáticas. En esta ocasión presentamos un  formulario de trigonometría diseñado para aquellos estudiantes de preparatoria o bachillerato. Incluye la definición de las funciones trigonométricas, las  identidades trigonométricas más usadas (incluso en la universidad), los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos más comunes y por último la ley de senos y cosenos. 

En próximas entradas presentaremos un formulario de trigonometría para su uso en cursos universitarios.





0 Suma y Resta de Fracciones

El requisito indispensable para sumar fracciones es que ambas tengan el mismo denominador.En una entrada anterior hemos discutido como transformar Fracciones Equivalentes. Usaremos tal concepto para poder transformar una fracción (o las dos) para después sumarlas pon atención a los ejemplos y no olvides contestar el examen para verificar que has entendido.

Ejemplo 1: Suma de Fracciones con igual denominador.


Ejemplo 2: Resta de Fracciones con igual denominador.



Ejemplo 3: Suma de Fracciones mediante transformación a fracciones con denominador común.




Ejemplo 4: Suma de Fracciones  usando el método de multiplicación cruzada.

En principio este último método es el mismo que el usado en el ejemplo 3. Pero este último permite encontrar con una simple multiplicación al denominador común. Este método también se usa para hallar la suma o resta de fracciones algebraicas.

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0 Software Libre

Siempre quisé tener una computadora (ordenador), estos aparatos que te permiten hacer muchas operaciones, escribir documentos, chatear, editar video, crear animaciones, almacenar colecciones de audio y video y cientos de otras actividades.

Sin embargo me topé con el problema del software privativo. Después de hacer un gasto considerable en mi primera computadora me dí cuenta que si queria explotar todo su potencial debía adquirir software, este software no siempre estaba a mi alcance.

Desde que descubrí Ubuntu, he visto como puedo aprovechar el software que otras personas han hecho sin tener que pagar nada, o a veces muy poco en comparación con el software de Windows.

Casi siempre he logrado encontrar un programa para satisfacer mis necesidades de cómputo. Siempre he encontrado documentación, foros para instalar los programas no tan populares.

Es por eso que aquí comparto con ustedes esta grata experiencia. La experiencia de ser realmente dueño de mi computadora, lo que conlleva libertad y responsabilidades. La libertad de instalar el software que yo considero útil sin preocuparme por la licencia y la responsabilidad de aprender nuevas cosas para no tener que depender del software privativo.

Quiero aclarar que no pienso que el software privativo sea malo, sólo que para un usuario promedio no se justifica un gasto tan grande, pues siempre es posible hacer las tareas comunes usando software libre.

Dejemos el software privativo para tareas menos triviales y que realmente sean díficiles de entender.

Pienso que el sector educativo sería uno de los más beneficiados al utilizar software libre porque podría usar ordenadores baratos para correrlo y así educar en un concepto de informática general y no sólo desde el punto de vista de usuario final.

Espero que Ubuntu y otras distribuciones sean compatibles con más hardware para no depender de la evolución que dictan las grandes compañía.

La libertad más tangible que nos da el software libre es el de tener otras opciones para satisfacer nuestras necesidades informáticas sin tener que gastar grandes cantidades de dinero en software inflado.



0 Examen de Matématicas Para Ingresar a la Universidad

Se aproximan los exámenes de admisión a la universidad. Si deseas estudiar alguna ingeniería o alguna carrera científica seguramente te estás preguntando si dominas lo mínimo necesario para tener un buen desempeño en la universidad.

Aquí te dejo un examen basado en una guía universitaria para que evalúes si eres tan buen@ como siempre lo has pensado.



Examen de Diagnóstico de Matemáticas para Ingreso a la Universidad » Make A Quiz

3 personas han presentado el examen y sólo una ha pasado.

 

0 Curso Online de Fracciones

1 Examen Online de Fracciones

0 Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes son números que representan la misma cantidad sólo que con diferentes numerador y denominador.

Pon atención a la siguiente animación en dónde se ilustra el concepto de fracción equivalente y la forma de hallarlas.


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0 Transformación de Fracciones a Decimales y Viceversa

Los números fraccionarios y decimales son distintas formas en las que se puede representar una cantidad. En esta entrada discutiremos como es posible transformar de un número a otro.

Número Fraccionario a Decimal



Número Decimal a Fraccionario



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0 Multiplicación y División de Fracciones

Vamos a revisar como se multiplican y dividen las fracciones. Es un proceso sencillo, de hecho en las dos vamos a multiplicar. Es importante que pongas atención que números se multiplican y donde se coloca el resultado.

Multiplicación.

La multiplicación de fracciones se hace en forma directa. Veamos el siguiente ejemplo:



División.

La división de fracciones se realiza en forma cruzada pon atención al ejemplo.


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0 ¿Qué carrera estudiar si me gustan las matemáticas?

Para mí las matemáticas son una purificación del lenguaje. Su aplicación a la resolución de problemas prácticos ha estado presente desde su creación.

Veamos por ejemplo a la geometría, que se desarrolló por la ambición de poder medir nuestro entorno, a la tierra, y que ha dejado muchísimos resultados más allá que el de la solución del problema inicialmente planteado.

Es así que las matemáticas abarcan una gran diversidad de áreas de estudio y técnicas. Es más son un campo en sí mismas en eterno perfeccionamiento.

A continuación presento algunas de las carreras en las que las matemáticas juegan un papel fundamental.

1. Ingenierías

Las ingenierías representan un gran espectro de posibles carreras en las que es necesario el uso de métodos cuantitativos. Los problemas planteados para estas carreras son tanto técnicos como logísticos los cuales los lleva a usar una gran variedad de matemáticas aplicadas.

Entre las aplicaciones que he observado se encuentran:

- Extracción de Petróleo
- Energías Alternativa
- Materiales
- Metalurgía
- Logística
- Calidad
- Comunicaciones
- Robótica

 Y un largo etcétera.

2. Informática y Computación

La informática es la combinación de un arte con una ciencia. El saber matemáticas, en particular lógica y matemáticas discretas puede ser de gran ayuda para los profesionales de esta área que continuamente evoluciona.

3. Administración, Finanzas, Economía y Actuaría.

El uso de las matemáticas para hacer análisis de riesgos. Para valuar las empresas. Son algunas de las muchas aplicaciones que encuentran las matemáticas en estas áreas.

4. Ciencias Físicas y Químicas

En la física las matemáticas encuentran una compañera que siempre las reta a describir nuevos e inexplicables fenómenos. En estas áreas puedes investigar la popular nanociencia y nanotecnología. Trabajar en forma interdisiciplinaria con las ingenierías. E incluso incursionar en la ciencia de vanguardía tal como la física de altas energías y la cosmología.

5. Ciencias de la Salud

Las matemáticas juegan un papel esencial en determinar si cierta droga sale al mercado o no, pues para ello se hacen pruebas estadísticas.

Los aparatos de diagnóstico, tales como la tomografía y el ultrasonido funcionan con principios físicos y algoritmos computacionales que son regidos por las matemáticas.

Además existen otras áreas como la fisiología que también exigen un detallado análisis cuantitativo.

6. Matemáticas

Por último si decides que lo que en verdad te interesa es desarrollar a la matemática mas que usarla. Lo que debes hacer es seguir una carrera en Matemáticas.

Como Conclusión

Existen un sin número de carreras específicas tales como Lic. Biomédica, Lic. Informática. En general pienso que si no te decides en sí por ningún plan pero estás seguro que lo tuyo son las Matemáticas podrías optar por seguir una carrera en Matemáticas y/o Física y posiblimente después encaminarte hacia algún área profesional cursando algún posgrado de tu interés.

Las matemáticas y física al ser ciencias básicas te permiten después incorpararte a algún otra área aplicada, tal como ingenierías, computación, e incluso economía.

Pero si ya estás seguro de qué profesion deseas es mejor que te matrícules en ese plan sin pensarlo dos veces, porque en este caso estudiar matemáticas o física sería una pérdida de tiempo.
  
Espero que encuentres útil esta entrada.

0 Computación Cuántica

Los avances de la física deben beneficiar a los seres humanos. Esto ha sido así por lo menos en el caso de la termodinámica que permitió la construcción de motores a vapor; y en el del electromagnetismo que ha dado paso a un sinúmero de inventos, entre ellos la computadora en la que estás leyendo esta entrada.

Actualmente se cree que el desarrollo en la física nos conducirá a una fusión de ésta con la teoría de la información. Pensémoslo detenidamente y esto tiene sentido, pues siempre caracterizamos a los sistemas con variables, las cuales representan la información accesible para nosotros como observadores y experimentadores.


El poder de cálculo disponible actualmente nos permite navegar en internet, ver videos, imágenes, hacer transacciones bancarias (para las cuales es necesario codificar la información), y un largo etcétera. Ahora imaginemos que ocurriría si de repente pudieramos disponer de una tecnología que nos permitiera hacer todo esto en un tiempo mucho más corto. Tambien pensemos que pasaría si los datos digitales pudieran ser identificados con un sello propio. O que pudieramos saber si nuestra información ha sido copiada o leida. Esto haría que el hacer operaciones virtuales fuese más seguro e incluso se redefinieran.

Todo lo anterior puede lograrse si controlamos los fenómenos cuánticos.

Los fenómenos cuánticos son aquellos que ocurren en dimensiones atómicas, es decir en el orden de nanometros.

Será necesario un gran desarrollo teórico, así como de trabajo interdisciplinario entre áreas como ciencia de materiales, ingenería en telecomunicaciones, óptica y un largo etcétera.

0 Transformación de fracciones impropias a mixtas y de mixtas a impropias

Ya hemos discutido en una entrada anterior el concepto de fracciones propias, impropias y mixtas.

En particular en esta entrada explicaré como transformar fracciones impropias a mixtas y viceversa.

Ejemplo 1: Transformación de una fracción impropia a mixta.



Ejemplo 2: Transformación de una fracción mixta a impropia. 





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0 Multiplicación de Números con signo


En esta entrada explicamos como multiplicar dos números reales, los números reales abarcan tanto números positivos como negativos. Para explicarlo mejor se dividió en tres casos.

El primer caso es cuando tenemos el producto de dos números positivos, a continuación presentamos una animación para su mejor comprensión.


El siguiente caso es cuando tenemos el producto de dos números negativos.
Finalmente tenemos la multiplicación de un número positivo y uno negativo  o viceversa, ya que el orden de los factores no altera el producto.

2 Fracciones Propias, Impropias y Mixtas

Una fracción puede entenderse como una división entre dos números ENTEROS que sólo se indica pero no se hace.

Una fracción PROPIA es aquella en el que el NUMERADOR (número de porciones que se toman) ES MENOR QUE EL DENOMINADOR (número de porciones en las que se ha partido el entero).

Se dice que es propia porque en este caso estamos hablando de una fracción (pedazo, trozo, porción) que no es mayor que el entero.


Existen fracciones IMPROPIAS en las que el NUMERADOR es MAYOR que el DENOMINADOR, es decir que se ha tomado un trozo mayor que el entero. Las fracciones impropias pueden representarse de dos formas:

1) como una fracción impropia.
2) como un entero y una fracción propia.


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0 Suma y resta de números con signo (Usando regla de los signos)

En la entrada pasada de este blog, explicamos de dónde viene la suma y resta de números con signo usando la recta numérica

En esta entrada extenderemos el resultado anterior para poderlo aplicar de una forma en la que no tenemos que usar la recta numérica.

En primer lugar debo mencionar que existen reglas de los signos para la multiplicación y otras para la suma de números signados.

En esta entrada sólo nos ocuparemos de las reglas de los números con signo que dicen los siguiente:

1. Números con signo igual se suman y se repite el signo.

Ejemplos:


 2. Números con signo diferente se restan y el signo del resultado es el del número cuyo valor absoluto sea mayor.




Por último para que practiquen este nuevo tema de las matemáticas les sugiero que contesten el siguiente examen.






Suma y resta de números con signo (usando regla de los signos) » test maker

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Actualización: 15 de Junio de 2012

6 personas han presentado el examen y todas lo han pasado.

 
Las mejores calificaciones son de Johnatan y Sarahí de México. Quienes obtuvieron una calificación de 90/100. 

2 Suma y Resta de Números con Signo (Usando la Recta Numérica)

En mi experiencia como docente de matemáticas a nivel medio me he dado cuenta que muchos estudiantes no saben hacer operaciones de números con signo.

Es por eso que he preparado algunas animaciones tipo GIF para mostrar un procedimiento sencillo, en el que nos auxiliamos de la recta numérica para poder hacer estas operaciones.

También puede hacerse estas operaciones aplicando la regla de signos, pero no debemos confundir la regla de signos para la MULTIPLICACIÓN, con la de ADICIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO.

Presento tres ejemplos de suma de números con signo.

Caso 1: Suma de dos números positivos. Este es el caso más sencillo. Notar que con el método de la recta numérica obtenemos el resultado ya conocido (4+1=5).



Caso 2: Suma de dos números negativos. Notar que el resultado es negativo.


 Caso 3: Números con signos diferentes. Aquí el signo del resultado será el signo del mayor de los números.


Para que practiquen matemáticas aquí les dejo un examen en línea.

Números con signo » online exam

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Más de diez personas han presentado este examen. De las cuales el 80% lo han pasado.


La calificación más alta es de Edgar de México quien obtuvo 100/100.  

0 Aprendiendo a Aprender

México es uno de los países con mucho por hacer para mejorar su nivel educativo. Aquí les comparto un video de PISA, una prueba internacional que evalúa las COMPETENCIAS en lectura, matemáticas y ciencias.

En este video se muestra a una profesora que ocupa el rol de una GUÍA EN LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO.



0 Documental de Albert Einstein

Entre los personajes que me inspiraron a estudiar física, además de Maxwell y Faraday, se encuentra Einstein.

Einstein sinónimo de genio. Hoy en día continua inspirando a las mentes del mañana. En este documental podemos ver los altibajos en la vida de este personaje y su prodigiosa carrera científica.

2 MathJax en Blogger

Muchos deseamos publicar artículos que incluyan ecuaciones matemáticas. He estado investigando acerca de como incluir ecuaciones en Blogger. Así que después de seguir estos pasos podrás desplegar ecuaciones en tu blog.

No he encontré algo que me diera una solución que me dejará satisfecho. Así que opté por consultar directamente la página de http://www.mathjax.org/. Bien he aquí lo que me ha funcionado:

1. Copiar el siguiente código:


<script src='https://d3eoax9i5htok0.cloudfront.net/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML' type='text/javascript'>
</script>


2. En la página de configuración de tu blog eliges la opción plantilla, seguida de la opción Edición HTML.






3. Dar clic en continuar, después de que aparezca la advertencia. Y pegar el código donde se indica en la siguiente imagen.


Eso es todo sólo resta incluir ecuaciones.

Los delimitadores para ecuaciones que estén dentro del párrafo son: \ ( ... \ ) y para las ecuaciones que se muestran centradas independientemente se usan los delimitadores: \ [ ... \ ]  y $ $ ... $ $. Los delimitadores $ ... $ NO ESTÁN SOPORTADOS.

Ejemplo:

La famosa ecuación de Schrödinger \[\hat{H}|\Psi(t)> = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t)>\] con el código TEX: \hat{H}|\Psi(t))> = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t))>.

En esta liga http://www.mathjax.org/docs/1.1/tex.html podemos ver que códigos Tex están soportados. Espero a todos les sea útil.

0 Límites infinitos


Teorema 1: Sí \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\,f(x) =l_{1}\) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} f(x)=l_{2}\,\,entonces \,\, l_{1}= l_{2}\)
Cualquiera pensaría que es un teorema burdo, sin embargo lo que nos dice este teorema es que el limite es único y usando el siguiente teorema se hallaran varios limites.

Teorema 2: El límite \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} \,\,f(x) =l \)  sí y solo si \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^-}}\) y \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^+}}\) existen y son iguales a \( l \)

 Teorema 3: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^+}}{ 1\over x^r} =+\infty\)

\begin{align*}
\lim _{ x\rightarrow 0^{ - } }{ \frac { 1 }{ x^{ r } }  } = \begin{cases}- \infty \ si \ r \ es \ impar \\ \infty \ si \ r \ es \ par \end{cases}
\end{align*}

Teorema 4: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow\infty }}{ 1\over x^r}= 0\)
Ejemplos:

1.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x}\) empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x}&= -\infty\\
\end{align*}
como los límites son diferentes el límite no existe.
2.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}\)empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x^2}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x²}&= +\infty\
\end{align*}
en este caso \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}= +\infty\), si nos fijamos en el teorema 3 se obtiene lo mismo.


3.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}\) notemos que :

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}&=  \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}{ 1\over 1-{1\over x}}\\
&={ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1\over \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1-\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}{1\over x}}\\
&= {1 \over 1-0}\,\,\,(empleando\,\,\,el\,\,\, teorema \,\,\,4)\\
&= 1
\end{align*}




0 Formulario de Límites

Algunas de las propiedades más importantes de los limites  se muestran a continuación.
Sí c es una constante entoces para cualquier número  a se tiene
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,c  = c $$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,x = a $$
Sean \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, f(x) =l_{1} \) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} g(x)=l_{2} \), y donde n es cualquier número positivo, entonces
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)+g(x)] =l_{1}+l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)\cdot g(x)] =l_{1}\cdot l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, [f(x) ]^n=[l_{1}]^n$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,{ f(x) \over g(x)} ={l_{1} \over l_{2}}\, \, \, \, \, \,  (con l_{2}\neq 0)$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l_{1}}\, \, \, \, \, \, \, \, ( l_{1}>0)$$
Ejemplos
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 7}}\, \,5 = 5$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 9}}\, \,x = 9 $$

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}} \, \,(5x+7)^4 &= [\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}}(5x+7)]^4\\
&=  (-3)^4\\
&=  81
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,{x \over (-7x+1)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}(-7x+1)}\\
& = {4 \over-27}\\
&= -{4 \over 27}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}} \sqrt[3]{x \over (-7x+1)}&=  \sqrt[3]{ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \, {x \over (-7x+1)}}\\
&= \sqrt[3]{-{4 \over 27}}\\
&=- {\sqrt[3]{4} \over 3}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}
Para hallar los siguientes primero se tiene que reducir la función de lo contrario tendremos \(0 \over 0\), por último se aplica el limite.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,{x^2-25\over (x-5)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,(x-5)(x+5) \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x-5)}\\
& = \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x+5)\\
&= 10
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{{\sqrt {x}-2}\over{ x-4}}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2) }\over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}{(x-4)(\sqrt {x}+2)}}\\
&= \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{1 \over \sqrt {x}+2}\\
&={\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}1 \over \sqrt {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}x+\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}2}}\\
&= {1\over \sqrt{4}+2}\\
&= {1\over 4}
\end{align*}

0 Instalación de SAGE en Ubuntu 10.04

Me he dado cuenta de que no muchas personas se sienten cómodas instalando programas que no vienen por default en el "Centro de Software" de Ubuntu. Por eso dedico este espacio para describir paso a paso cómo se instala SAGE en una PC con Ubuntu instalado.

DEPENDENCIAS

Antes de descargar el programo es necesario revizar si nuestro sistema tiene instaladas todas las dependencias.

En el caso de SAGE necesitamos verificar y en su defecto instalar los siguientes programas:

Linux: GCC, g++, gfortran, make, m4, perl, ranlib, y tar

DESCARGA DEL PROGRAMA

Lo primero que necesitamos hacer es ingresar a la página web de SAGE y seleccionar el servidor más cercano a nuestra ubicación.

Después seleccionamos la versión de 32 ó la de 64 bits, dependiendo de la versión de Ubuntu que tengamos instalada. Les recomiendo la versión de 32 bits si están usando ubuntu 10.04 pues es la más compatible.

EXTRACCIÓN DEL PROGRAMA

Esperamos a que se descargue el arhivo. Cuando haya finalizado la descarga DESEMPAQUETAMOS el archivo, dando clic con el botón derecho y pulsando la opción extraer aquí. Esto nos generará una carpeta llamada: sage-4.7.2


Copiamos la carpeta recién extraída a la carpeta personal.

COMPILACIÓN DEL PAQUETE

Abrimos una terminal y tecleamos los comandos:


$ cd sage sage-4.7.2
$ make

Eso es todo, el proceso es automático. Una vez que haya finalizado la compilación sólo resta abrir SAGE usando el comando:

$ ./sage


 





0 Gráficas 2D en SAGE

SAGE puede usarse como un poderoso graficador. Aquí presento algunos de los resultados obtenidos con esta herramienta.

Como comentario debo decir que a mí me gusta usar SAGE desde una terminal porque puedo obtener mejores resultados que en un notebook, es por eso que los procedimientos discutidos a continuación sólo funcionan en una terminal.

La función Plot en SAGE obedece la siguiente sintaxis:

plot(f, xmin, xmax, options)

Dónde:

f: Es la función a graficar.
xmin: el valor mínimo del dominio.
xmax: el valor máximo del dominio.
options: opciones tales como especificar el color del gráfico.

Código de Colores de los gráficos en RGB:

rojo : (1.0,0.0,0.0),
naranja: (1.0,0.5,0.0),
amarillo: (1.0,1.0,0.0),
verde : (0.0,1.0,0.0),
azul : (0.0,0.0,1.0),
morado: (0.5,0.0,1.0),
blanco: (1.0,1.0,1.0),
negro : (0.0,0.0,0.0),
gris : (0.5,0.5,0.5)

Podemos hacer combinaciones intermedias variando los valores de los números.

Para especificar la función podemos hacer una de dos cosas: dar la fórmula de la función, o predefinir una función para luego llamarla.


EJEMPLO 1:

Primero se define la función a graficar. Sea \(f(x)=sen(x)\). Escribimos en SAGE lo siguiente:

sage: def f(x): return sin(x)

Luego usamos el comando plot para crear una gráfica de color azul de la función f que vaya de -10 a 10 radianes:

sage: plot(f,-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

Con lo que obtenemos el siguiente resultado:



EJEMPLO 2:

En este ejemplo no definiremos ninguna función sino que se usara el comando plot directamente.

sage: plot(sin(x),-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

El resultado es el mismo que del EJEMPLO 1.


La forma de graficar en el segundo ejemplo parece más sencilla sin embargo cuando el número de funciones a graficar aumenta es preferible usar la técnica del EJEMPLO 1.

EJEMPLO 3:

Veamos un ejemplo donde se ve la importancia de declarar funciones. Imaginemos que queremos graficar las funciones suma, \(f+g\), resta, \(f-g\), y la multiplicación, \( (f(x)) (g(x))\). Dónde \(f(x) = sen(x)\), \(g(x) = x\).

Primero declaramos las funciones f y g:

sage: def f(x): return sin(x)

sage: def g(x): return x

Después graficamos una a una las funciones solicitadas, (usamos \(h(x)\) para construir la función suma \(f+g\):

sage: def h1(x):
....:     return f(x)+g(x)
....: 
sage: plot(h1,-10,10)


Función suma \(f+g\).



Ahora la función resta:



sage: def h2(x): return f(x)-g(x)


sage: plot(h2,-10,10)


Función resta \(f-g\).


Por último la función multiplicación:

sage: def h3(x): return g(x)*f(x)

sage: plot(h3,-10,10)


Función multiplicación \(f*g\).
EJEMPLO 4:

Por último sería buena idea el tener todas las gráficas en una misma imagen, esto puede hacerse con el operado '+', como se muestra a continuación:

sage: plot(h1,-10,10,rgbcolor=(1.0,0,0))+plot(h2,-10,10,rgbcolor=(0.0,1.0,0.0))+plot(h3,-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

Todas las funciones \(f+g\) en rojo, \(f-g\) en verde y \(f*g\) en azul.

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